对二进制（binary）感到陌生是正常的，因为日常生活中很少有使用二进制的场景。人类最常用的计数系统莫过于十进制了，这可能是因为人有十根手指的缘故，使用十进制计数比较符合直觉。
但我们也不是没接触过其他计数系统。表示月份用十二进制，“半斤八两”用十六进制，表示时间用二十四进制和六十进制。
在数学里，表示 n 进制数一般会引入 n 种不同的符号。十进制通常使用 0–9 表示。身份证号的最后一位在 0–9 的基础上引入了 X（即罗马数字中的十），这其实也是一种十一进制的表示方法。
类似地，十六进制通常在 0–9 的基础上，引入字母 A–F。从零开始计数像是这样子：0, 1, 2, …, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11, 12, …其中 A 对应十进制中的 10，B 对应十进制中的 11，F 对应十进制中的 15，10 对应十进制中的 16，以此类推。
10（读作“一零”而不是“十”）在不同进制中表示的数不同。确切地说，在 n 进制中，10 表示 n。所以在可能产生歧义的时候，应当说明使用的进制。
图片来源：a daily comic by Sanjay Kulkarni 上图的外星人只有四根手指，它们很自然地使用四进制。在它们的文明里，10 = 四，并没有 4 这个符号。这也是为什么外星人看起来一脸疑惑──就跟你第一次看见身份证号中的 X 一样。
二进制通常使用 0 和 1 表示，像是 1101000。我们把二进制数的每一位称为一个比特（bit）──一个由 binary 和 digit 混合而成的单词。
计算机使用二进制，主要是因为电路实现起来简单。这跟人类倾向于使用十进制别无二致──试想如果我们在日常生活中使用二十进制甚至六十进制计数，那得多费脑子和脚趾，这恐怕只有法国人才可以做到。
电路并不理解数字，所有的含义都是人为赋予的。二进制的每一位有两种可能性，因此我们只要在电路中找到两种状态，分别赋予 0 和 1 的含义，就可以表示一个比特了。我们可以设定一个电压阈值，将电压划分为低电平和高电平两种状态──比如，在一个 5V 供电的电路中，认为 0–2.5V 是低电平，2.5V–5V 是高电平──然后，把低电平赋予 0 的含义，把高电平赋予 1 的含义，这样，我们便可以通过高低电平表示一个比特。
找到表示一个比特的方法之后，就可以考虑怎样实现计算了。不妨先来复习一下初中物理，下图是一个由电源、开关 S1 和 S2 和灯 L 组成的电路。
显然，只有开关 S1 和 S2 同时闭合的情况下，才能形成回路，灯 L 亮。如果把开关的断开和闭合、灯的灭与亮分别赋予 0 和 1 的含义，那么当且仅当 S1 和 S2 都是 1 的时候，L 为 1。将 S1 和 S2 看作输入、L 看作输出，列举所有可能性，可得到下表：
| 输入 | 输出 | |
|---|---|---|
| S1 | S2 | L |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
这就是布尔代数中的与（AND）运算。
在实际的数字电路中，晶体管充当了上图中开关的角色，电压的大小可以控制“开关”的打开与闭合，而这些“开关”组成了一个个逻辑门（logic gate），包括上面的与门（AND gate）。常用的逻辑门还有很多，比如非门（NOT gate）、或门（OR gate）等。有了这些基础的逻辑门，我们就可以利用布尔代数，将它们组合成任意输入到任意输出的逻辑门，从而实现更复杂的运算。
一个典型的案例是加法器（adder），用于计算两数之和。
计算机做加法和人类做加法的方法差不多，也是依次计算两个加数的每一位并处理好进位（carry），我们小学一年级就已经学会了。
如果不考虑沟通成本，要计算 n 位数的加法，完全可以找 n 个人站成一排，告诉每个人需要计算的两个数字是多少、上一步（低位）产生的进位是多少，他们就可以分别算出这一位的和和产生的进位。
上图是 4 个人做 4 位十进制加法的例子，蓝色部分可以看作是三个输入，橙色部分可以看作是两个输出。小人只要能够根据输入计算输出，就可以组成一个 4 位加法器。我们要做的就是设计两个逻辑门，根据蓝色部分的输入，分别输出两个橙色部分的值。
十进制数的排列组合非常多。但如果是两个二进制数，我们可以轻易列举出所有可能性：
| 输入 | 输出 | ||
|---|---|---|---|
| 加数 A | 加数 B | 进位 | 和 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
简单起见，我没有在输入中加入低位产生的进位，否则可能性会多一倍。这种加法器的“半成品”也有名字，称为半加器（half adder）。
对比可以发现，计算输出中的进位可以使用上面的与门实现。和可以用另一种名叫异或门（XOR gate） 的逻辑门实现。
或门很好理解，输入只要有 1 就输出 1。异或的全称是 eXclusive OR，是一种排斥或，与或的区别在于需要排除两个输入相同的情况。从效果上来看，异或可以看作是加法运算（因此也常被写为⊕）。
理论上，将 n 个 1 位加法器串起来就可以组成一个 n 位加法器。实践中，加法器规模通常成倍扩大：两个 1 位加法器可以组成一个 2 位加法器，有了 2 位加法器后，将两个 2 位加法器组成一个 4 位加法器，以此类推……实际计算机中的加法器也更复杂，比如使用超前进位的技术，减少等待低位进位的时间。
回过头来看，计算机一定要使用二进制吗？
显然不是。只要在电路中找到表示三种状态的方法，并且将布尔代数扩展到三元，就可以造出三进制计算机。
历史上也确实有过三进制计算机的尝试，但是就目前而言，二进制计算机赢了。
